頭脳王 算数数学に挑戦!2018-2(全7回)

テレビでは今年も最強の頭脳 日本一決定戦! 頭脳王が2/3に放送されました。
今回は他局某番組で取りあげられているこれなどで話題を呼んでいるあの出場者の意外な才能(入試本番で自作した数学の問題と同じものが出たそうです)と一面(思考や心理で話題となっているとある有名人の弟)を知り、改めて凄さを感じました。

と、出場者の話題はおいておきましょう。数学や算数の問題はみなさんでも電卓を使えば正解できるはずです!
ここでは放送された中から算数数学の思考で解ける7問を取り上げます(権利が必要そうなものはこの中にないはず)。
2問目は優勝が決まったこの問題。

怪獣が登場する映画は今も昔も人気です。ところで、躯体が大きいなら声量も大きいのでは、ということで…

以下の条件で、最低限必要な体長をmで答えよ。
・東京から自由の女神までに相当する直線距離11059.2km先に60デシベルの声を届ける
・体長170cmの人は100m先に60デシベルの声を届けられる
・声は距離の2乗に反比例する
・声は声量に比例、声量は肺活量に比例、肺活量は体重に比例、体重は身長の3乗に比例
・上記にない条件(地形や気圧による減衰など)は無視する
・四捨五入せずに答える

何か難しそうですが、比例反比例の問題です。累乗の知識があれば解けますので中学生なら正解できると思います。

ここから下に解説が表示されます。

まず、問題の距離はどれくらいなのか?を考えましょう。
11059.2kmは100m(0.1km)の110592倍です。
声量は距離の2乗に反比例する、ということですのでこの距離で60デシベルを届けるには170cmの人が出せる声量の1105922倍ということになります。
さて、声は声量に比例、声量は肺活量に比例、肺活量は体重に比例、体重は身長の3乗に比例、ということですので、比例の推論を進めることで「声は身長の3乗に比例」ということがわかります。
ということは、身長の倍率の3乗が1105922になるような値を計算すればよい、ということになります。
ここで「四捨五入せずに答える」と出ていますから綺麗な値になってくれるはず、ということで110592を素因数分解してみると、
110592=212 × 33 = (24 × 3)3=483
となってくれます。ということは必要な声量は1105922倍なので体長は
482=2304倍
は必要とわかります。
あとは比較対象の170cm(1.7m)をかけて
1.7 × 2304 = 3916.8mと求められます。

次回は物理の知識が使われるスポーツの問題を説明する予定です。

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