​【完全ガイド】因数分解の公式一覧（中学・高校）と実践テクニック5選。たすきがけも怖くない！

因数分解の公式が多すぎて覚えられない、どの問題でどの公式を使えばいいか分からない…。そんな悩みを抱えていませんか？この記事は、因数分解でつまずいている学生のあなたのための【完全ガイド】です。

中学・高校で習う公式を一覧で総復習し、複雑な式でもスラスラ解けるようになる「5つの実践テクニック」を例題付きで丁寧に解説します。「たすきがけ」のコツや、「なぜ因数分解を学ぶのか」という疑問にも答えます。この記事を読み終える頃には、因数分解への苦手意識が自信に変わっているはずです。

そもそも因数分解とは？なんのために（いつ）使うの？

数学の授業で「まず、これを因数分解して…」と当たり前のように言われても、「そもそも、なぜそんな面倒なことを？」と疑問に思うのは、とても大切なことです。その「なぜ」が分かれば、学習の目的がはっきりします。

因数分解は「かけ算の形」に戻す作業

「展開」は、カッコを外して足し算や引き算の形（和の形）にすることでした。
例えば、(x+2)(x+3) を展開すると x^2 + 5x + 6 になります。

因数分解は、そのまったく逆の操作です。
足し算や引き算でつながっている式を、カッコ（など）でくくった「かけ算の形」（積の形）に戻すことを指します。

x^2 + 5x + 6 → (x+2)(x+3)

このとき、かけ算の形を作っている一つひとつのパーツ（この例では x+2 と x+3）を 因数 と呼びます。

具体的にいつ使う？：2次方程式・不等式を解くため

では、なぜわざわざ「かけ算の形」に戻すのでしょうか？
その最大の理由は、「方程式が圧倒的に解きやすくなるから」です。

例えば、 x^2 + 5x + 6 = 0 という2次方程式を解くことを考えてみてください。
足し算の形のままでは、x にどんな数字を入れたら0になるか、見つけるのは大変です。

しかし、これを因数分解して (x+2)(x+3) = 0 と「かけ算の形」にするとどうでしょう？
かけ算して答えが 0 になるのは、どちらか（あるいは両方）が 0 の場合だけです。

つまり、「x+2=0」または「x+3=0」となれば良いことが分かります。
よって、x = -2、x = -3 と、一瞬で答えが見つかります。

このように、因数分解は、これから学ぶ2次方程式、2次関数（グラフのx軸との交点を見つける）、さらには高次方程式や不等式を解くための、非常に強力な道具（テクニック）なのです。

【中学レベル】まずは必須！基本の因数分解公式4選

ここからは、具体的な公式と使い方を見ていきましょう。まずは中学の数学で習う、最も基本的で重要な4つの公式です。高校数学の問題も、土台となっているのはこれらの公式です。忘れているものがないか、例題と一緒に確認してみてください。

① 共通因数でくくる	ma + mb = m(a+b)
② 平方の公式	a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
③ 平方の公式（マイナス版）	a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2
④ 和と差の積の公式	a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

① 共通因数でくくる

これが因数分解のすべての基本です。「まず共通因数でくくる」は、どんな問題でも最初に考えるクセをつけましょう。

共通因数とは、式の中のすべての項が持っている、共通のかけ算の要素です。

【例題】
2x^2 + 6xy を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 数字を見る：「2」と「6」の最大公約数は「2」です。
2. 文字を見る：「x^2（xが2個）」と「xy（xが1個とyが1個）」に共通しているのは「x（が1個）」です。
3. 共通因数を特定：したがって、共通因数は「2x」です。
4. くくり出す：2x で全体をくくり出し（割り算するイメージ）、残ったものをカッコに入れます。
   2x^2 + 6xy = 2x \times x + 2x \times 3y = 2x(x + 3y)

【答え】 2x(x + 3y)

② 平方の公式

「平方の公式」と呼ばれるものです。式の「両端」が何かの2乗になっていて、真ん中の項が「両端の2乗する前のものをかけて2倍」になっていたら、この公式が使えます。

【例題】
x^2 + 10x + 25 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 両端を見る：x^2 は「x」の2乗、+25 は「+5」の2乗です。
2. 真ん中を確認：x と +5 をかけて2倍すると、2 \times x \times 5 = 10x となり、真ん中の項と一致します。
3. 公式を適用：(x+5)^2 の形にまとめます。

【答え】 (x+5)^2

③ 平方の公式（マイナス版）

②の公式の、真ん中の符号がマイナスになったバージョンです。考え方はまったく同じです。

【例題】
x^2 - 12x + 36 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 両端を見る：x^2 は「x」の2乗、+36 は「+6」または「-6」の2乗です。
2. 真ん中を確認：真ん中の項が「-12x」とマイナスなので、「-6」の方を使ってみます。
   x と -6 をかけて2倍すると、2 \times x \times (-6) = -12x となり、一致します。
3. 公式を適用：(x-6)^2 の形にまとめます。

【答え】 (x-6)^2

④ 和と差の積の公式

これは最も見つけやすい公式かもしれません。「（何かの2乗）－（別の何かの2乗）」という形になっていたら、この公式を使います。項が2つしかないのが特徴です。

【例題】
x^2 - 49 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 形を確認：x^2 は「x」の2乗、 49 は「7」の2乗です。
2. 公式を適用：「a^2 - b^2」の形（a=x, b=7）になっているので、「(a+b)(a-b)」に当てはめます。
   (x+7)(x-7) となります。

【答え】 (x+7)(x-7)

【高校レベル】数学I・IIで登場する因数分解の応用公式

中学の公式をマスターしたら、次は高校の「数学I」や「数学II」で登場する、少し複雑な公式です。特に3乗公式は符号（プラス・マイナス）で混乱しやすいので、ゆっくり確認しましょう。

⑤ x^2の係数が1	x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
⑥ 3乗の和	a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
⑦ 3乗の差	a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
⑧ 立方（3乗）	a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3
⑨ 立方（3乗）マイナス版	a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3

⑤ x2の係数が1の場合

中学で習った公式④の応用版で、非常に重要です。「かけて ab（一番うしろの数）」「たして a+b（x の前の数）」になる2つの数 a と b を見つけるゲーム、と考えると分かりやすいです。

【例題】
x^2 + 7x + 10 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 「かけて +10」
2. 「たして +7」
   になる2つの数のペアを探します。
3. かけて +10 になるペアは、(1, 10), (2, 5), (-1, -10), (-2, -5) です。
4. この中で、たして +7 になるのは「+2」と「+5」のペアだけです。
5. よって、a=2, b=5 として公式に当てはめます。

【答え】 (x+2)(x+5)

⑥ 3乗の和の公式

「（何かの3乗）＋（別の何かの3乗）」という形を見つけたら、この公式です。
符号の覚え方：「(a+b)」は元の符号と同じ。後ろのカッコ (a^2 - ab + b^2) の真ん中は、元の符号と逆（マイナス）になると覚えると確実です。

【例題】
x^3 + 8 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 形を確認：x^3 は「x」の3乗。8 は「2」の3乗です。
2. 公式を特定：a^3 + b^3 の形（a=x, b=2）だと分かります。
3. 公式に適用：(a+b)(a^2 - ab + b^2) に当てはめます。
   (x+2)(x^2 - x \times 2 + 2^2)

【答え】 (x+2)(x^2 - 2x + 4)
（※後ろの x^2 - 2x + 4 は、これ以上因数分解できません）

⑦ 3乗の差の公式

⑥のマイナス版です。「（何かの3乗）－（別の何かの3乗）」の形です。
符号の覚え方：「(a-b)」は元の符号と同じ。後ろのカッコ (a^2 + ab + b^2) の真ん中は、元の符号と逆（プラス）になります。

【例題】
x^3 - 27 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 形を確認：x^3 は「x」の3乗。27 は「3」の3乗です。
2. 公式を特定：a^3 - b^3 の形（a=x, b=3）だと分かります。
3. 公式に適用：(a-b)(a^2 + ab + b^2) に当てはめます。
   (x-3)(x^2 + x \times 3 + 3^2)

【答え】 (x-3)(x^2 + 3x + 9)

⑧ 立方（3乗）の公式

これは展開公式 (a+b)^3 の逆です。項が4つあり、係数が「1, 3, 3, 1」のようになっていたら、この公式を疑います。

【例題】
x^3 + 6x^2 + 12x + 8 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 項が4つあり、すべてプラスであることに注目します。
2. 両端を見る：x^3 は「x」の3乗。8 は「2」の3乗です。
3. 「もしかして (x+2)^3 かも？」と仮説を立てます。
4. 展開して確認します：(x+2)^3 = x^3 + 3 \times x^2 \times 2 + 3 \times x \times 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
5. 元の式と完全に一致しました。

【答え】 (x+2)^3

⑨ 立方（3乗）の公式（マイナス版）

⑧のマイナス版です。項が4つあり、符号が「+, -, +, -」と交互になっているのが特徴です。

【例題】
x^3 - 9x^2 + 27x - 27 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 項が4つあり、符号が + - + - と交互になっています。
2. 両端を見る：x^3 は「x」の3乗。-27 は「-3」の3乗です。
3. 「もしかして (x-3)^3 かも？」と仮説を立てます。
4. 展開して確認します：(x-3)^3 = x^3 - 3 \times x^2 \times 3 + 3 \times x \times 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27
5. 元の式と完全に一致しました。

【答え】 (x-3)^3

公式だけでは解けない！複雑な因数分解の実践テクニック5選（思考ステップ）

「公式は覚えたのに、テストで出てくる複雑な式になると、どれを使えばいいか分からない…」
これは、多くの学生さんが抱える最大の悩みです。

ここでは、どんな複雑な問題に出会っても迷わないための「考える順番（思考ステップ）」を5つのテクニックとして紹介します。因数分解は、このステップを上から順に試していくゲームだと思ってください。

ステップ1：まずは「共通因数」でくくれないか探す

何よりも先に、これを試します。式がどんなに複雑に見えても、まず「全部の項に共通している文字や数字はないか？」を探すクセをつけてください。
共通因数でくくり出すだけで、式の形がシンプルになり、次に使うべき公式がパッと見えることがよくあります。

【例題】
3ax^2 - 12ay^2 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. パッと見て「2乗－2乗」の公式（④ a^2-b^2）が使えそうですが、グッとこらえます。
2. ステップ1：共通因数を探します。
   • 数字：3 と -12 → 「3」が共通
   • 文字：a と x^2、a と y^2 → 「a」が共通
   • よって、共通因数は「3a」です。
3. 3a でくくり出すと、3a(x^2 - 4y^2) となります。
4. ここでカッコの中 (x^2 - 4y^2) を見ると、公式④ a^2-b^2（x の2乗と 2y の2乗）が使える形になっていることに気づきます。
5. 3a(x+2y)(x-2y)

【答え】 3a(x+2y)(x-2y)
（※先に公式④を使おうとすると、計算が複雑になってしまいます）

ステップ2：公式がそのまま使えないか確認する

共通因数がない、あるいは、くくり出した後の式を見て、先ほど紹介した9つの公式（中学の4つ＋高校の5つ）がそのまま使えないかを確認します。

ステップ3：式の一部を「置き換え」（Aなど）でシンプルにする

「カッコのカタマリが何度も出てくる」「式が長すぎて見通しが悪い」
そんな時は、共通する部分を別の1文字（A や M など）で置き換えてしまうテクニックが非常に有効です。複雑な式を、見慣れたシンプルな形に一時的に変身させます。

【例題】
(x+y)^2 + 5(x+y) + 6 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. (x+y) というカタマリが共通していることに注目します。
2. A = (x+y) と置き換えてみましょう。
3. すると、元の式は A^2 + 5A + 6 と書き換えられます。
4. これは公式⑤ x^2+(a+b)x+ab の形（かけて6、たして5）ですね。
5. A^2 + 5A + 6 = (A+2)(A+3) と因数分解できます。
6. ここで満足せず、必ず置き換えた A を元の (x+y) に戻します。
   ( (x+y) + 2 )( (x+y) + 3 )

【答え】 (x+y+2)(x+y+3)

ステップ4：伝家の宝刀「たすきがけ」を試す

x^2 の前に係数（1以外）がついている ax^2 + bx + c の形の式（例：2x^2 + 7x + 3）で、公式が使えない場合の切り札が「たすきがけ」です。
やり方さえ覚えれば、パズルのようで楽しくなりますし、これができると一気に上級者になれます。

【例題】
2x^2 + 7x + 3 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. x^2 の係数（2）と、定数項（3）に着目します。
2. かけて 2 になるペア（左側）と、かけて 3 になるペア（右側）を縦に書きます。
   （例）1　　1
   2　　3
3. これらを「たすき（バツ印）」のように斜めにかけて、足し算します。
   • 1 \times 3 = 3
   • 2 \times 1 = 2
   • 3 + 2 = 5
4. この結果「5」が、真ん中のx の係数（7）と一致すれば成功です。今回は一致しませんでした（失敗）。
5. では、右側のペアを (3, 1) の順に変えてみます。
   1　　3
   2　　1
6. 再度たすきがけします。
   • 1 \times 1 = 1
   • 2 \times 3 = 6
   • 1 + 6 = 7
7. 真ん中の係数「7」と一致しました！（成功）
8. 答えは、横のペアをそのままカッコに入れます。
   (1x + 3)(2x + 1)

【答え】 (x+3)(2x+1)

ステップ5：最終手段：最も「次数」の低い文字で整理する

ステップ1〜4のどれも使えない…式に x も y も z も入っていて、ぐちゃぐちゃだ…
これが最終手段です。
次数に注目し、式の中に登場する文字の中で「最も次数が低い文字」を1つ見つけます。そして、その文字について「降べきの順」に整理（並べ替え）します。

【例題】
x^2 + xy + 2x + 3y - 3 を因数分解しなさい。

【解き方】

1. 次数チェック：x は x^2 があるので「2次」。y は y^1 しかないので「1次」です。
2. 最低次数の文字：y の方が次数が低いので、y が「主役」です。
3. y が「ついている項」と「ついていない項」に分けて、 y でくくります。
   (xy + 3y) + (x^2 + 2x - 3)
   = (x+3)y + (x^2 + 2x - 3)
4. 後ろの「ついていない項」 (x^2 + 2x - 3) だけで因数分解できないか考えます。
   （かけて-3、たして+2 なので、(x+3)(x-1) になります）
5. 式に戻します。
   (x+3)y + (x+3)(x-1)
6. 全体をよく見ると、 (x+3) という「新しい共通因数」（ステップ1）が生まれていることに気づきます！
7. この (x+3) で全体をくくり出します。
   (x+3) \{ y + (x-1) \}
   = (x+3)(y + x - 1)

【答え】 (x+3)(x+y-1) （アルファベット順に並べ替えることが多いです）

因数分解に関するよくある質問（FAQ）

ここでは、因数分解を学ぶ学生さんから特によく聞かれる質問や、細かい疑問についてお答えします。

「たすきがけ」がうまくいく組み合わせを見つけるコツは？

たすきがけ（ステップ4）は、慣れるまで正しいペアを見つけるのが大変ですよね。コツは「探す範囲をしぼること」です。

• 符号に注目する:
  • 一番うしろの項（定数項）がプラス（例: ... + 3）なら、ペアは（＋, ＋）か（－, －）です。真ん中の項がプラスなら（＋, ＋）、マイナスなら（－, －）に決まります。
  • 一番うしろがマイナス（例: ... - 3）なら、ペアは必ず（＋, －）の組み合わせになります。
• 数字の候補を減らす:
  • x^2 の係数が 6 の場合、(1, 6) と (2, 3) のペアが考えられますが、まずは差が小さい (2, 3) のペアから試す方が、早く正解にたどり着くことが多いです。

3乗の公式がどうしても覚えられません…

a^3 \pm b^3（項が2つ）と (a \pm b)^3（項が4つ）は、確かに混乱しやすいです。
符号のルールを決めて覚えるのがおすすめです。

• a^3 + b^3 (項が2つ)
  • (a+b)(a^2 - ab + b^2)
  • 最初のカッコ (a+b) は、元の符号と同じ。
  • 後ろのカッコ (... - ab ...) の真ん中は、元の符号と逆。
• a^3 - b^3 (項が2つ)
  • (a-b)(a^2 + ab + b^2)
  • 最初のカッコ (a-b) は、元の符号と同じ。
  • 後ろのカッコ (... + ab ...) の真ん中は、元の符号と逆。

この「最初は同じ、次は逆」というルールで覚えてみてください。

因数分解と「展開」の違いってなんですか？

この2つは、まったく逆の操作です。

• 展開:
  • (x+2)(x+3) \rightarrow x^2 + 5x + 6
  • （かけ算の形）を（足し算・引き算の形）にバラすこと。
• 因数分解:
  • x^2 + 5x + 6 \rightarrow (x+2)(x+3)
  • （足し算・引き算の形）を（かけ算の形）にまとめること。

例えるなら、「プラモデルを組み立てる（展開）」のと「完成したプラモデルをパーツごとに分解する（因数分解）」のような関係です。

まとめ

お疲れ様でした。この記事では、因数分解でつまずきやすい学生さんのために、中学・高校で習う公式の一覧と、複雑な式も解けるようになるための「5つの実践テクニック（思考ステップ）」を解説しました。

因数分解は、単なる暗記ゲームではありません。

1. まず「共通因数」でくくる
2. 公式が使えないか見る
3. 「置き換え」でシンプルにする
4. 「たすきがけ」を試す
5. 「最低次数の文字」で整理する

という、解法を試す「順番」が何よりも大切です。この思考ステップを身につければ、どんな応用問題に出会っても、解き方の方針が立てられるようになります。

因数分解は、これから学ぶ2次方程式や関数分野の土台となる重要な道具です。この記事をガイドに、ぜひ「解ける！」という自信をつけてください。