【中学数学】重要公式・定理を完全網羅！現行指導要領に完全対応

高校入試を控えた受験生のために、中学3年間で学ぶ全単元の重要公式・定理を網羅しました。模試の前や入試直前の総復習チェックリストとして活用してください。

1. 数と式

正の数・負の数

• 絶対値： 数直線上で、ある数から原点 0 までの距離のこと。
• 加減乗除の符号：
  • (-)\times(-) = (+)
  • (-)\div(+) = (-)
• 累乗： (-3)^2 = 9 と -3^2 = -9 の計算ミスに注意。

文字と式

• 文字式のきまり： \times や \div は省く。数字を先に書き、文字はアルファベット順に並べるのが一般的。
• 代入： 文字を数に置き換えて計算する。負の数を代入するときは (\quad) をつける。

式の計算

• 同類項： 文字の部分が全く同じ項。これらをまとめることで式を単純化する。
• 分配法則： a(b + c) = ab + ac

多項式

• 展開公式：
  1. (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab
  2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  3. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  4. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2
• 因数分解： 「共通因数をくくり出す」のが第一歩。その後に上記の公式を逆向きに適用する。

整数の性質

• 素因数分解： 自然数を素数（2, 3, 5, 7 \dots）の積で表すこと。
• 活用： 約数の個数を求めたり、ある数を掛けて「平方数（〇の2乗）」にする問題で必須。

平方根

• 定義： a の平方根とは、2乗して a になる数のこと（\pm\sqrt{a}）。
• 変形： \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} （例：\sqrt{12} = 2\sqrt{3}）
• 分母の有理化： \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}
• 近似値： \sqrt{2} \approx 1.414（一夜一夜に）、\sqrt{3} \approx 1.732（人並みに）

2. 方程式

1次方程式

• 等式の性質： 両辺に同じ数を足す・引く・掛ける・割る（0以外）をしても等号は成立。これを利用して x = \dots の形を作る。

連立方程式

• 加減法： 係数をそろえて足し引きし、1文字消去する。
• 代入法： 一方の式を y = \dots などの形にして他方に代入し、1文字消去する。

2次方程式

• 解法の優先順位：
  1. 因数分解を利用する（(x-\alpha)(x-\beta) = 0）
  2. 平方根の考えを利用する（x^2 = k や (x+m)^2 = n）
  3. 解の公式： x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

方程式の文章題

• 解法手順： x を決める → 数量関係を等式（方程式）にする → 計算する → 答えが問題の条件（正の数か、整数か等）に合うか確かめる。

3. 関数

比例と反比例

• 比例： y = ax （比例定数 a = \frac{y}{x} は一定）
• 反比例： y = \frac{a}{x} （xy = a は一定） グラフは双曲線。

1次関数

• 基本形： y = ax + b （a:傾き・変化の割合、b:切片）
• 変化の割合： \frac{y \text{の増加量}}{x \text{の増加量}} = a （1次関数では常に一定）

関数 y=ax²

• 基本形： y = ax^2 （放物線。y軸について線対称）
• 変化の割合： x が p から q まで変化するとき：
  \text{変化の割合} = a(p + q)

4. 図形

平面図形

• 基本作図： 垂直二等分線、角の二等分線、垂線。
• おうぎ形： 半径 r、中心角 x とする。
  • 弧の長さ L = 2\pi r \times \frac{x}{360}
  • 面積 S = \pi r^2 \times \frac{x}{360} = \frac{1}{2}Lr

空間図形

• 体積 V： 柱体は \text{底面積} \times \text{高さ}、錐体は \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}
• 球： 半径 r とする。
  • 表面積 S = 4\pi r^2 （心配る…）
  • 体積 V = \frac{4}{3}\pi r^3 （身の上に心配ある…）

図形の角と合同

• 平行線の角： 錯角・同位角が等しい。
• 多角形の角： n 角形の内角の和は 180(n - 2)。外角の和は常に 360^\circ。
• 三角形の合同条件：
  1. 3組の辺がそれぞれ等しい。
  2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
  3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

三角形と四角形

• 二等辺三角形： 2つの底角が等しい。頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。
• 平行四辺形：
  • 性質：2組の対辺が等しい、2組の対角が等しい、対角線が中点で交わる。
  • 条件：上記いずれか1つ、または「1組の対辺が平行で長さが等しい」。

相似な図形

• 相似条件： 2組の角がそれぞれ等しい（最頻出）、3組の辺の比がすべて等しい、2組の辺の比とその間の角が等しい。
• 相似比と面積・体積比： 相似比が a:b ならば、面積比は a^2:b^2、体積比は a^3:b^3。
• 中点連結定理： 三角形の2辺の中点を結ぶと、残りの1辺に平行で長さは半分になる。

円

• 円周角の定理： 1つの弧に対する円周角は、その中心角の半分。同じ弧に対する円周角は一定。
• 円の接線： 接点を通る半径と垂直に交わる。

三平方の定理

• 基本： 直角三角形の斜辺を c とすると a^2 + b^2 = c^2
• 特別な三角形の比：
  • 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \rightarrow 1:1:\sqrt{2}
  • 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \rightarrow 1:\sqrt{3}:2

5. データの活用

資料の整理

• 代表値： 平均値、中央値（メジアン）、最頻値（モード）。
• 相対度数： \frac{\text{その階級の度数}}{\text{度数の合計}}
• 箱ひげ図： 最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を箱と線で表したもの。

確率

• 基本： P = \frac{\text{その事象が起こる場合}}{\text{すべての場合}}
• ポイント： 樹形図や表を正確に書き出し、モレなく重複なく数え上げること。

標本調査

• 推定： \text{母集団の推定値} : \text{母集団の総数} = \text{標本の該当数} : \text{標本の総数}