数学夏祭りに挑戦 2日目

数学夏祭りが始まりました。今回を入れてあと9問の予定です。

公式サイト

私も時間を作って全問参加したいですが、片手間でどこまでいけるのでしょう?
今回の問題はこちら。

ということで三角関数と各種定理を当てはめる正攻法…はあまり使わず、中学数学の範囲で理解できそうな解き方でいきます。
まずAから辺BCにおろした垂線の足をPとし、線分PC上にPK=BPとなるような点Kをとります。そして図のように書き加えると…

AB=AK=KC=√2APとなるのでAP=√6/(2+ √2)= √6-√3がわかります(分母に(2- √2)をかけると有理化できます)。

今度はG,O,Hそれぞれと辺BCとの距離を考えましょう。
まずはHから。これはHPCが直角二等辺三角形になるので楽です。

距離はHP=CP=BC-BP= √3となります。

次はGにいきましょう。辺BCの中点をMとするとAD:DM=2:1なので相似比を利用してAP/3=( √6-√3)/3となります。

その次はOを考えます。距離はOMの長さになります。
辺ABの中点をNとし、この図のように補助線を入れると…

MO=BM-2・(AP/2)= √3-√6/2となります。


HM=LMでLから辺BCにおろした垂線の足をQとし、Oを通る辺BCに平行な直線を引いて図のようにすると、三角形HM’Oと三角形LROが合同になることがわかります。(Oは対頂角、HとLは平行線の錯角)

HM’=MO+HP=2 √3-√6/2となるため、Lと辺BCとの距離は
LQ=LR+RQ=HM’+MO=(2 √3-√6/2)+(√3-√6/2)= 3√3-√6となります。

最後にDの位置をみましょう。DはGLをm:nに外分し、さらにm>n>0ですのでLD=n/(m-n)・LGがわかります。G,Lそれぞれから辺BCとの距離を合計すると(8√3-2√6)/3となります。

これで値が揃いましたので計算するだけです。BCを底辺にして
S=√6/2・{(√6-√3)+(3 √3-√6)+n/(m-n)・(8√3-2√6)/3}=3 √2+(4 √2-2)n/(m-n)となります。
(9/3修正 G、Lとの距離の和を間違えてしまっていた…お詫びします)

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