数学夏祭りが始まりました。本日から2週間の予定です。
私も時間を作って全問参加したいですが、片手間でどこまでいけるのでしょう？
今回の問題はこちら。
誰でも参加できる2週間に渡るTwitter難問チャレンジ
数学夏祭り 記念すべき第一問！
「解答する、拡散する、解説する」
それぞれにキャンペーンプライズを進呈！
みんなで祭りを盛り上げよう！#数学夏祭り#数学夏祭り問1参加方法は↓リプに続きます。 pic.twitter.com/CD1JT7Txax
— 数学夏祭り＠8/31 17時開幕 (@mathmatsuri) August 31, 2020
というわけで解いてみましょう。
なんとなくしらみつぶしもできそうですが、王道の解き方でいきます。
まずは両辺に79pqrをかけて分母をはらいましょう。
rは一見必要なさそうですが…
pqr2=79pr+79qr
こうすると左辺がprとqrの積になるので、王道の変形ができます。
pr・qr-79pr-79qr=0
(pr-79)(qr-79)=792
こうすると左辺は正同士の積もしくは負同士の積が考えられますが、
負同士とするとpr,qrが1以上なので左辺は782までしか作れず、つまり考えなくてよいとわかります。
そうするとさらにprはqrより大きくならないこと、79が素数であることから
(pr-79,qr-79)の組は(1,792)と(79,79)しかないとわかります。
つまり(pr,qr)=(80,80・79),(158,158)です。
まずは(pr,qr)=(80,80・79)の場合です。
rは両方の公約数です。最大公約数は80ですので80の約数が該当します。
さらにいまr<79ですので考えられる値は80を除く9個が該当します。
ということはpは80をrで割って得られる値なのでこれも80の約数です。
rが80でない場合を考えればよいので探したい範囲でみると、
p=2,4,5,…,10,16,20,40,80となります。
(飛ばしたのは1個ですが、以降は使わないと分かるのでこうしています)
pが定まれば残りは1通りに決まりますが、いまはここで止めましょう。
次は(pr,qr)=(158,158)の場合です。
これは素因数を分配するだけです。
rとして考えられる値は1,2,79,158の4通りで、いま79以上は考えませんから
r=1,2のみでよいとわかります。
このときpの値は順に158,79となります。
これでとりうるpを全て求められました。いま答えに使いたいのはpの値が
小さい方から3番目(p=5)と大きい方から5番目(p=20)のものです。
どちらも前者の場合です。
前から3番目のrは80/5=16
後ろから5番目のqは20・79=1580ですので
求める答えは16・1580=25280となります。