ヨーロッパ女子数学オリンピック日本選抜 2019 問3

今回の記事はこちらの問題。EGMO2019日本選抜の第3問です。

3 ✕ 3のマス目の各マスに0以上の実数が1つずつ書き込まれている。以下の位置関係をともにみたす任意の3個のマスX,Y,Zについて、それらに書き込まれている3つの数の和は1以上になっている。

  • XとYは同じ行(横の並び)にあり、YはXよりも右にある。
  • XとZは同じ列(縦の並び)にあり、ZはXよりも上にある。

このとき、マス目に書き込まれている9つの数の和は8/3以上であることを示せ。

条件で考えられている3マスの組を探しだし、うまく重みづけしてわかりやすい計算にしてしまいましょう。

まずは条件をみたす3マスの組を考えます

条件をみたすX,Y,Zの組としては、以下のものが考えられる。

Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y

ちなみに、他に

Z
X Y
Z
X Y

も考えられますが、今回は使いません。
持ち出した3マスの組の等式を作りましょう。

a1,1 a1,2 a1,1
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

マスに書き込まれた値を以下のように変数で表すと①~⑦の配置について
①:a3,1+a3,2+a2,1 ≧ 1,
②:a3,1+a3,3+a1,1 ≧ 1,
③:a3,2+a3,3+a2,2 ≧ 1,
④:a3,2+a3,3+a1,2 ≧ 1,
⑤:a2,1+a2,2+a1,1 ≧ 1,
⑥:a2,1+a2,3+a1,1 ≧ 1,
⑦:a2,2+a2,3+a1,2 ≧ 1
が成り立つことがわかる。

あとはこれをうまいこと係数設定して足し合わせるだけです。a1,3が出ていませんがこれは無視して残りを揃えましょう。

ここで① ✕ 3 + ② ✕3 + ③ ✕ 1 + ④ ✕ 2 + ⑤ ✕ 1 + ⑥ ✕ 2 + ⑦ ✕ 4を計算すると
6a3,1+6a3,2+6a3,3+6a2,1+6a2,2+6a2,3+6a1,1+6a1,2 ≧ 16
となる。これを6で割ることで
a3,1+a3,2+a3,3+a2,1+a2,2+a2,3+a1,1+a1,2 ≧ 8/3
を得る。したがってa1,3 ≧0であることから
9マスに書かれた値の合計は8/3以上であることがいえる。

右上隅を気にせずに解けるかも影響されるかもしれません。

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