ヨーロッパ女子数学オリンピック日本選抜 2019 問2

今回の記事はこちらの問題。EGMO2019日本選抜の第2問です。

正2019角形の各頂点に正の実数が書き込まれており、どの頂点に書き込まれた数の2乗もその両隣の頂点に書き込まれた2つの数の和に等しくなっている。このとき、どの頂点にも同じ数が書き込まれていることを示せ。

書き込まれている箇所は有限個です。ということは、最大と最小が存在します。

今回はヒントにあるように最大の値が書かれた頂点と最小の値が書かれた頂点で考えるとやりやすいです。
まずは最大で考えてみましょう。

書き込まれた実数のうちで最大のものが書かれている頂点を考える。
この頂点に書かれた値をa、両隣の頂点をa1,a2とおく。
設定からa2=a1+a2が成り立つがaはa1,a2より大きくならないことからa ≦ a1,a ≦ a2
がわかる。これよりa2 ≧ a+aが導かれる。
変形するとa(a-2) ≧ 0となるので、 a>0 から a ≧ 2が導かれる。

と、かなり単純な結果が出ました。今度は最小で考えてみましょう。

書き込まれた実数のうちで最小のものが書かれている頂点を考える。
この頂点に書かれた値をb、両隣の頂点をb1,b2とおく。
設定からb2=b1+b2が成り立つがbはb1,b2より小さくならないことからb ≧ b1,b ≧ b2
がわかる。これよりb2 ≦ b+bが導かれる。
変形するとb(b-2) ≦ 0となるので、 b>0 から0< b ≦ 2が導かれる。

こちらも単純な結果が出ました。あとはa,bの関係に注目すると決着がつきます。

したがってb ≦ 2, a ≧ 2, a ≦ bが同時に成り立つので
2 ≦ a ≦ b ≦ 2
となる。このようになる場合はa=b=2しかない。
したがって頂点に書かれた値は最小で2、最大で2なのでそれ以外の値も2になることから、全ての頂点に同じ数が書き込まれていることがいえる。

ということで、不等式で絞ったら自明な1通りしか考えられなくなった、という結果になりました。

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