数学夏祭り、出題が終わったと思ったらまだありました。
今回の問題はこちら。7日目の代替です。
数学夏祭り 第7問の代替問題
「解答する、拡散する、解説する」
それぞれにキャンペーンプライズを進呈！
入賞対象の問題投稿は今日でおしまい！
みんな2週間ありがとうございました！#数学夏祭り#数学夏祭り解説参加方法は↓公式WEB↓をご確認ください。https://t.co/Iw82DdBM2j pic.twitter.com/3RSQOOpzol
— 数学夏祭り@もう秋かな (@mathmatsuri) September 12, 2020
数学オリンピック相当かと見紛う難度ですが、どうにかなりました。
この問題にも金の原子番号「79」が使用されています。
括弧や不等号との混同を防ぐため、実数xの整数部分はi(x),小数部分はj(x)と表記します。
条件4の関係式を見ると右辺が整数部分と小数部分に分離しています。(0≦t<1ならば0≦ √t<1となるため)
また値域が負でない実数全体ですので、負でない整数n,0以上1未満の実数rを任意に設定すると必ずf(x)=n+rとなるAの元が存在します。
しかも条件3により1つだけとわかります。
このnとrを用いると条件4の式はn+r=i(f-1(√n+r))+ √j(x)
とできます。
このしきは両辺とも整数部分と小数部分に分離されているので、整数部分の比較により
n≦ f-1(√n+r)<n+1が成り立ちます。
また小数部分の比較によりj(x)=r2が成り立ちます。(つまりf(x)の小数部分がrならばxの小数部分はr2)
すなわちj(f-1(√n+r))=j(√n+r)2です。
これらを総合してf-1(√n+r)=n+j(√n+r)2
すなわち0以上の実数yに対し、
f(i(y)+j(√y)2)= √yが成立することがわかります。
あとはy=7.92(=62.41)を代入して答えを導くのみ。
するとi(y)=62,j(√y)2)=0.81となりますので、f-1(7.9)=62.81がわかります。
これで挑戦記事は最後になるはずです。