数学夏祭りに挑戦 10日目

数学夏祭り、ついに最終問題です。

公式サイト

今回の問題はこちら。

難易度は最高としていますが、高校数学で何とかなる問題です。
京都大学特色入試の問題ができるならばいけるはずです。

まずe79>279>(24)10>1010ですので、使ってよいという不等式にx=e79を代入すると
f(e79)<π(e79)<f(e79)+e79/(793) ①
が成り立ちます。(f(x)はここでは展開しません)
あとはLi(x)がx=e79のときに
f(x)<Li(x)<f(x)+6x/(log2)4 ②を満たすことを示せばいけそうです。
(これを-1倍してx=e79を代入し、①に加算することで示したい不等式が出る)

Li(x)の原子関数は難しそうですがf(x)と部分積分を利用して変形しましょう。
xの1次式を出せば良さそうですので
1/logx=1・1/logxとして1を部分積分します。すると
∫(dt/logt)=t/logt+∫(dt/(logt)2)
とできます。さらに同様の部分積分を続けると
∫(dt/(logt)2)=t/(logt)2+∫(2/(logt)3)dt
∫(2/(logt)3)dt=2t/(logt)3+∫(6/(logt)4)dt
となります。すなわち
∫(dt/logt)= t/logt+ t/(logt)2+ 2t/(logt)3+ ∫(6/(logt)4)dt
= t(logt)-3((logt)2+ logt+2)+ ∫(6/(logt)4)dt=f(t)+ ∫(6/(logt)4)dt
とできました。あとはこれを定積分すると
Li(x)=f(x)-f(2)+ ∫2x(6/(logt)4)dtを得ます。

まず上限ですが、これは比較的やさしいです。
log2>0ですので、f(2)>0がわかります。
また2<tならlogt>log2ですのでx>2なら∫2x(6/(logt)4)dt≦(x-2)/(log2)4<6x/(log2)4が成り立ちます。
すなわちLi(x)<f(x)+ 6x/(log2)4がわかります。

次は下限です。汎用ではいかなそうなのでxをいくらか大きくしましょう。
e<22ですので1/2<log2<1です。これより
f(2)<2/(1/2)3・(1+1+2)=64がわかります。
ここでは思い切ってx=e79で成立するか検証してしまいましょう。
すると∫2e79(6/(logt)4)dt>6・(e79-2)/794となります。
794<108,e79>1019ですのでe79-2>1018となり、すなわち6・(e79-2)/794>6・108>64がわかります。
つまり、Li(e79)>f(e79)-64+64=f(e79)がいえます。

よってf(e79)<Li(e79) <f(x)+ 6/(log2)4・e79が示せましたので、当初の予定(より少し変わりましたが)から問題の不等式が証明できます。

ここからは共通点の話です。
いくつか特徴が見えます。
1.数字79が使われている
すでに公式に説明されていますが、79は金の原子番号です。
2.ある値以下の素数の個数、という関数がある
私も第4問で絞り込みに使わせていただきました。勝手な推測ですが、ゴールドバッハ予想で使いたくなる関数なのかもしれません。

とにもかくにも、全問参加できてよかったです。

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