数学夏祭りに挑戦 9日目

数学夏祭りが始まりました。とうとうあと2問となりました。

公式サイト

今回の問題はこちら。

ついに大学数学からの出題です。が、「ベクトル場の線積分」が何なのかがわかれば解けるはずです。(という私もかじり直し)

ベクトル場Fにおける、曲線Cに沿った線積分はCを[a,b]から空間への連続全単射rで表現したとき
abr’(t)・F(r(t))dt
で計算できます。(r’(t)がない部分も出うるが有限個ならそれらで区切れば問題ない)

(1)曲線がr一定の円ですのでθの関数にして積分しましょう。
極座標の変数を利用していますのででx=r cosθ,y=r sinθと置き換えます。
曲線は直交座標で考えると計算しやすいでしょう。曲線の式をr=f(θ)と表すと
曲線の接ベクトルが直交座標で(f’(θ) cosθ-f(θ) sinθ, f’(θ) sinθ+f(θ) cosθ)と表せます。
A(x,y)=(2 √3 cosθ-6 sinθ, 2 √3 cosθ-2 sinθ)であり接ベクトルは(-2sinθ, 2cosθ)となります。
すなわち内積は(12sin2θ+4 √3 cos2θ -(4 √3+12)sinθcosθ)=(2 √3 -6)cos2θ-(2 √3+6)sin2θ+(2 √3 +6)となります。
この経路は0から2πまでですのでcosθ,sinθの項は積分すると0になってくれます。
ということで値はπ・(4 √3 +12)となります。

(2)要素で分割しましょう。まずは前半。
ここまでΘでいきましょうなどと記述しましたが、ここはx,yにするのがよさそうです。
というのも前半の関係式は直交座標で √3y-x=2と表せるからです。
この関係式で両端の座標を考えるとΘ=π/3のときr=2,Θ=2πのときr=2です。
すなわち(x,y)=(1-√3t, √3– t)とすると接ベクトルは方向ベクトルである(-√3,-1)となり、A(x,y)=(-2√3,-2t)となります。
すなわち内積は2t+6となり、積分はt=0~√3までになりますので、この区間での値は[t2+6t]03=3+6√3となります。
後半も直交座標にすると√3x+y=-2√3となりますので同様にします。
両端は(-2,0)と(-1,-√3)となりますので(-2+s,-√3s)となり、
このときA(x,y)=(4√3s-2√3,2√3s-2√3)となります。
すなわち内積は(4√3-6)s+(6-2√3)となり、これをs=0~1で積分すると3となります。
したがって全体の線積分の値は6+6√3となります。

(3)これも分解します。前半は(1)で取り上げた曲線の始端と終端が異なるだけですので出てきた式を流用しましょう。するとπ・(3√3+9)-(2√3-6)が得られます。
後半はΘを固定してrの式にしています。これも直交座標のほうがやりやすいでしょう。
偏角が7π/4なのですなわち傾きはtan(7π/4)=-1です。したがって直線y=-x上に乗っていることになります。
ということはx=t,y=-tという媒介変数表示となり、このときA(x,y)=((√3+3)t,(√3+1)t)となります。
すなわち内積は2tとなり、t=√2~0で積分しますのでその値は-2となります。
よって全体の線積分の値はπ・(3√3+9)-(2√3-4)となります。

(4)まずは分解しましょう。1本目の式は直交座標にします。
するとy-x=√3-1となります。
両端の座標から(x,y)=(1-t,√3-t)とでき、このときA(x,y)=((3-√3)t-2√3,(1-√3)t)となります。
すなわち内積は2√3-(4-2√3)tとなり、t=0~(√3-1)まで積分すると6√3-8となります。
後半は(1)の式を流用します。0<Θ<π/3ではπ・(2√3+6)/3-(3+3√3)となり、7π/6<Θ<2πでは(2√3)+5π・(2√3+6)/6となります。
したがってすべて合計すると7π・(2√3+6)/6+3√3-9となります。

これで値がそろいました。これらを小さい順に並べると
6+6√3,7π・(2√3+6)/6+3√3-9,π・(3√3+9)-(2√3-4),π・(4 √3 +12)となります。

さて、今回はどこに共通点が隠れているのでしょう。それは問題の曲線にあります。
実際に描画した図を(3)(1)(2)(4)の順に並べると…

この通り、「G」「O」「L」「D」を傾けた図が浮かび上がります。

…今回は解説というより「がんばって解いてみました」というような記述です。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする