数学夏祭りに挑戦 7日目

数学夏祭りが始まりました。後半も盛り上がりましょう。

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今回の問題はこちら。のはずでした。


はい、勘の良い人なら気付いているかもしれませんが、この問題は成立していません。
3辺の長さから計算できる4値を与えてしまったのは出題者としても不覚だったと思います。
ちなみに、想定解は111だそうです。

このままじゃかわいそうなので、どうにか修正しましょう。
と言いつつ、じつはこの問題と「金」との関係は見いだせていませんが…

ひとまず、内接円、傍接円と辺の長さ、面積Sには以下の関係があります。
2S=r(a+b+c)=rA(b+c-a)=rB(c+a-b)=rC(a+b-c)
すなわち、a+b+c=2S/r,b+c-a=2S/rA,c+a-b=2S/rB,a+b-c=2S/rCです。
ここから、a=S(1/r-1/rA),b=S(1/r-1/rB),c=S(1/r-1/rC)がわかります。
この関係式をa+b+c=2S/rに代入して整理すると1/r=1/rA+1/rB+1/rCがわかります。
つまりr,rA,rBが与えられるとrCを求めることができます。
問題の値を信用すると1/r-1/rA-1/rB=97/4680となり、なんとも言えない値となりました。

これではどうしようもないので他の関係式も作ってみましょう。

ヘロンの公式は
16S2=(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
と変形できます。
16S2=16S4/rrArBrC
が成り立ちますのですなわち
S=√rrArBrC
です。
すなわちa=rA(rB+rC)/√(rArB+rBrC+rCrA),
b=rB(rC+rA)/√(rArB+rBrC+rCrA),
c=rC(rA+rB)/√(rArB+rBrC+rCrA)
と求められました。(でも、想定されている値を入れたら分母が√19887=√3・7・947となりやりきれない)
しかもこの方法で得られる辺の長さは三角不等式を保証します(2辺の長さから残り1辺の長さを引くと2S/(傍接円どれかの半径)になる)ので、三角形の成立条件を自動的に満たしてくれます。

あとはRの関係も出せることを示したいです。
正弦定理を利用すると
4S=abc/Rと変形できますので
再びヘロンの公式からR=abc/√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
が成り立ちます。
ということはRも計算できる、ということです。

…とは書き並べてみたものの、あまり深い考察はできませんでした。

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