数学夏祭りに挑戦 5日目

数学夏祭りが始まりました。今日で前半が終了します。

公式サイト

今回の問題はこちら。

かなりの難問。でもオリンピックに比べたらぬるいです。

まずはαを求めましょう。これは易しいです。
nを入れて各項を(k/n)の式に直すとan=(1/n)・sum[k=1〜80](k/n)79となります。
こうすると、区分求積が使え、
α=∫[0〜1]x79dx = 1/80がわかります。

これでαが求まりました。問題はここからです。
さすがにsum[k=1〜m]k79の公式なんて面倒すぎて作れません。
ですがとある性質を利用して和を計算できるものに分解することができます。
それがこれ。
「整式A(x)はP(x,a)=x(x-1)(x-2)…(x-a-1) [aはA(x)の次数以下の正整数]と定数の一次結合で表せる」
(うまく定数k0,…,kdを選ぶとA(x)=k0+sum[i=1〜d]kiP(x,i)を成立させられる)
sum[k=1〜m]P(k,a)は比較的簡単に導けるので、この性質は大きいのです。
ということで、まずはこれを示しておきます。A(x)の次数の帰納法で示しましょう。
A(x)が1次式のときはax+b=aP(x,1)+bとできます。
A(x)がd次式までで示せたとすると、A(x)が(d+1)次式のとき、A(x)=axd+1+B(x)の形にできます。(B(x)はd次以下)
またP(x,d+1)-xd+1はd次以下の式ですからこれをC(x)とおくとC(x)も帰納法の仮定が使えます。
するとA(x)=a(P(x,d+1)-C(x))+B(x)となり、次数が(d+1)のときも成り立つことがわかります。
これで帰納法が完結しました。

実際にsum[k=1〜m]P(k,a)を計算しましょう。
P(k,a)=(P(k+1,a+1)-P(k,a+1))/(a+1)なので
sum[k=1〜m]P(k,a)=(P(2,a+1)-P(1,a+1))/(a+1)+(P(3,a+1)-P(2,a+1))/(a+1)+…+(P(k,a+1)-P(k-1,a+1))/(a+1)
となります。間は全て打ち消し合い、さらにP(1,a+1)=0ですのですなわち
sum[k=1〜m]P(k,a)=P(k+1,a+1)/(a+1)がわかります。

あとはanを必要なところまで求めましょう。最終的にn79で割った値の極限を求めますので79次以上の係数がわかれば解決します。
k79=P(k,79)+rP(k,78)+…となるようなrを求めましょう。残りの項は77次以下(つまり和はnの78次以下の整式)なので無視できます。
P(k,79)=k(k-1)(k-2)…(k-78)です。k78の係数はつまり積のうち1つを除いてkを選んだ場合にでますから(二項定理の導き方と同じ発想)係数は
-(1+2+…+78)=-78・79/2となります。
つまりr=78・79/2がわかります。のちのちのためこのままにします。

するとα-an=1/80-P(n+1,80)/(80n80)- 78・79/2・P(n+1,79)/(79n80)-(nの78次以下)/n80となります。これを展開してn80とn79の係数を求めましょう。
P(n+1,80)=(n+1)n(n-1)…(n-78)なのでn80の係数は1、n79の係数は
1+0-(1+2+…+78)=1-78・79/2となります。
またP(n+1,79)のn79の係数は最高次なので1です。
したがってα-an=1/80-{1/80+(1-78・79/2)/(80n)}-{(78・79/2)/(79n)}-(nの78次以下の式)/n80
=-1/(80n)+ 78・79/(2n)・(1/80-1/79)
=-1/(80n)-78・79/(2n・80・79)=-1/2n

となり、すなわちK=-1/2,-[200K]=-100がわかります。

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