二次関数

放物線

関係式y=a(x-p)2+q (a≠0)を満たす(x,y)によって座標平面に描かれる図形を放物線とよぶ。
このグラフはa>0のとき、下側に出っ張る形となる。この形状を下に凸である、とよぶ。
またa<0のとき、上側に出っ張る形となる。この形状を上に凸である、とよぶ。


下に凸の場合

上に凸の場合

グラフのもっとも出っ張った位置にくる点(上の図で打っている点)の座標は(p,q)となるが、この点を放物線の頂点とよぶ。
また直線x=p(上の図における破線直線)に対して対称となるが、この直線を放物線のとよぶ。

2次式の操作

2次関数y=ax2+bx+cのグラフを考えるとき、頂点の位置を求めるためにy=a(x-p)2+qという形式に変形することが多い。この変形を平方完成とよぶ。
また、この形から2次方程式ax2+bx+c=0を解くときに-(q/a)=(x-p)2と変形することで解くことができる。
-(q/a)が0以上であれば実数解が存在することがわかる。
-(q/a)をa,b,cで表すと(b2-4ac)/(4a2)となることから、分子のb2-4acを判別式とよぶ。

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