集合と論理

集合

何らかの条件を指定したときその条件をみたすものの全体を集合とよぶ。

例:条件としては、たとえば「値が1,2,3のいずれかである」「値が奇数である」「値が0以上1未満である」というようなものが考えられる

集合の用語

集合Sに対して値xがSに含まれるとき、xをSのとよびx∈Sと表す。

集合Sに対し、Sの元でないものの全体をSの補集合とよび、Sで表す。

集合S1とS2に対し、S1とS2の両方に含まれる元全体をS1とS2との共通部分とよび、S1∩S2で表す。

集合S1とS2に対し、S1かS2のうち少なくとも一方に含まれる元全体をS1とS2との和集合とよび、S1∪S2で表す。

論理

命題

記述された内容で正しいかどうかを判断できるような文章を命題とよぶ。

命題の内容が正しいことを、正しくないことをと表現する。

条件

条件pとqに対し、pが成り立つ状況であれば必ずqが成り立つとき、「pはqの十分条件」「qはpの必要条件」であるという。また、この状況をp⇒qと表す。

また、条件pとqに対し、「pが成り立つ状況においてqが必ず成り立つ」という文章は命題となる。このような命題を「pならばq」と表す。

条件pとqに対し、pがqの十分条件であり、さらにpがqの必要条件である場合、「pはqの必要十分条件」とよんだり、「pとqは同値な条件」とよんだりする。また、p⇔qと表す。

条件の演算

条件pに対し、「pが成立しない」というものも条件として考えられる。このように考えた条件をpの否定とよび、pで表す。

条件p,qに対し、「pが成立し、さらにqが成立する」というものも条件として考えられる。このように考えた条件は「pかつq」という。また「p,qのうち少なくとも一方が成立する」というものも考えられる。このときの条件は「pまたはq」という。

命題の演算

命題「pならばq」に対して、条件を入れ替えた命題「qならばp」を、条件を否定した命題「pならばq」を、条件を否定して入れ替えた命題「qならばp」を対偶とよぶ。

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