数と式

単項式、多項式、整式

単項式

変数a,bなどに対し乗法だけを使用して得られるもの(項)単独による式を単項式という。

例:a,a2,abなど

多項式

項を複数個加減法を使用して得られる式を多項式という。

例:a+b,a+a2など

整式

単項式、多項式を合わせて整式という。

次数

単項式の項において、文字の指数に使用されている値を次数という。
複数の文字がある場合、次数は文字の指数に使用されている値の総和とする。
多項式の次数は項の次数の最大値を次数とし、次数がnである整式をn次式という。

多項式において、すべての項の次数が等しいとき、この多項式を斉次式という。

記述する順番

降べき、昇べき

整式の項を、ある変数xとかに対して次数の大きい方からの順を降べきの順、次数の小さい方からの順を昇べきの順とよぶ。

例:x+x3+2x2を降べきの順に並べるとx3+2x2+x、昇べきの順に並べるとx+2x2+x3となる。

輪環の順

3変数の式の場合、うち2変数を使うものに対しては特別な記述がある。

例えば変数a,b,cを使う場合、(a+b)(b+c)(c+a)やab+bc+caと記述することが多い。

このようにa → b → c → aの順番にして記述する形式を輪環の順とよぶ。

対称式

対称式

複数の変数による式で、どの変数を入れ替えても元の式になるような式を対称式という。

基本対称式

複数の変数を使い、相異なる変数の積による項から特定の次数のものをすべて合わせたものを基本対称式という。

例:a,bの基本対称式は、a+b,ab

交代式

2変数による式で、変数を入れ替えると-1倍になる式を交代式という。

整式の計算

恒等式

2つの整式A(x),B(x)による等式A(x)=B(x)がどのようなxを代入しても成り立つとき、
このA(x)=B(x)を恒等式とよぶ。

整式の商と余り

P(x),A(x)を整式とするとき、整式Q(x),R(x)を用いてP(x)=Q(x)A(x)+R(x)とするとき、
R(x)がA(x)の次数より小さくなるようなものが1組だけ存在する。
その組におけるQ(x)を、P(x)をA(x)で割った、R(x)を余りとよぶ。

平均

2変数a,bに関する平均には、相加平均、相乗平均、調和平均が考えられる。

相加平均

(a+b)/2で計算して得られる値をa,bの相加平均とよぶ。

相乗平均

c=√abで計算して得られる値をa,bの相乗平均とよぶ。

調和平均

c=2/(1/a+1/b)とすると、1/c=1/2 (1/a+1/b)と変形できる。このcをa,bの調和平均とよぶ。

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